Espacios vectoriales

 espacios vectoriales.

sea: 

• K un conjunto de escalares
• v un conjunto de vectores con reglas de adición y multiplicación por escalar que asignan a todo u, v pertenece al conjunto v.
• la suma de U+V pertenezca a V y a todo U perteneciente a V.
• con K perteneciente al cuerpo K, el producto U *K pertenecerá al contjunto V.

V será un espacio vectorial sobre el cuerpo K, mientras cumpla con las siguientes propiedades.

Propiedades.

1. u+v  ∈ V. Propiedad clausurativa para la suma.

2. u+v = v+u. Propiedad conmutativa para la suma.
3.  (u+v)+w=u+(v+w). propiedad asociativa para la suma.
4. Existe un único elemento 0 ∈ V , tal que u + 0 = u, para todo u ∈ V . Propiedad modulativa para la suma.
5. Para cada u ∈ V , existe un único elemento −u ∈ V , tal que u + (−u) = 0. Existencia del opuesto para la suma
6. αu ∈ V . Propiedad clausurativa para la multiplicación por escalar.
7. α(u + v) = αu + αv. Propiedad distributiva respecto la suma de vectores.
8. (α + β)u = αu + βu. Propiedad distributiva respecto la suma de escalares

Subespacio vectorial.

Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V.

W es un subespacio de V si W es en sí mismo un espacio vectorial con las mismas operaciones (suma de vectores y productos por un escalar) definidas en V.

Teoremas para identifica un subespacio vectorial.

• teorema 1: 

 La mejor manera de comprobar si W es un subespacio es buscar primero si contiene al vector nulo. Si $0_V$ está en W, entonces deben verificarse las propiedades (b) y (c). Si $0_V$ no está en W, W no puede ser un subespacio y no hace falta verificar las otras propiedades.

• teorema 2:

 Los axiomas 2, 3, 7, 8, 9 y 10 de espacio vectorial se cumplen para $W$ porque éste es un subconjunto de $V$. Puede decirse que $W$ «hereda» esas propiedades de $V$.

• teorema 3:

Faltaría comprobar que cada vector de $W$ tiene su opuesto en $W$ (axioma 5 de espacios vectoriales):
Teniendo en cuenta la condición (c) de subespacios,
c. Si $u$ está en $W$ y $k$ es un escalar, $ku$ está en $W$.
Si tomamos $k=–1$, resulta:
Para cada $u\in W,\left(–1\right)u=–u\in W$.
Y por lo tanto cada vector de $W$ tiene su opuesto en $W$.
De las observaciones anteriores se deduce que las condiciones (a), (b) y (c) son suficientes para demostrar que $W$ es un espacio vectorial, y por lo tanto subespacio de $V$.

Base y dimensiones.

Base: Si B es un subconjunto no vacío del espacio vectorial V , diremos que B es una base de V , si y solo si, el conjunto B cumple con las siguientes condiciones, 

1.  B es un conjunto linealmente independiente. 
2.  B es un conjunto generador de V .

Dimensión: Si las bases de un espacio vectorial V tienen n elementos, diremos que la dimensión de V es n, lo que expresaremos como 

dim(V ) = n. 

En caso que V = {0}, por conveniencia, diremos que el espacio vectorial tiene dimensión 0, y en caso que un espacio vectorial no tenga una base finita, diremos que es de dimensión infinita.

 Así, de los Ejemplos 18, 19 y 20, tenemos que dim(Rn) = n, dim(Pn) = n+ 1 y dim(Mm×n) = mn. De otro lado, P∞, el espacio vectorial de todos los polinomios, es de dimensión infinita. Veamos otro ejemplo menos trivial.