Transformaciones lineales

 

¿Qué es una transformación lineal?

Una transformación lineal es una función, cuyo objetivo es tener un conjunto de operaciones que se realizan dentro de un espacio vectorial V y así convertirlo en un elemento de otro espacio vectorial W, 

¿Cuáles son las condiciones para que exista una transformación lineal?

Para que exista una transformación lineal se debe cumplir con las siguientes condiciones.

1. F(v+v)=F(u)+F(u)  ∀u,v∈V
2. F(k*u)=k*F(u)       ∀v∈V,  ∀k∈R

Propiedades de las transformaciones lineales.

Propiedad 1:

La imagen de un vector nulo de dominio 0v es el vector nulo del dominio 0w.

T(0v)=0w

Ejemplo:

T(0v)=T(0*v)=0*T(v)=0*w=0w

Aquí expresamos 0v como el producto por escalar 0 por cualquier vector del espacio vectorial V, luego usamos la segunda condición, y usamos la propiedad de espacios vectoriales sobe el producto a escalar que en este caso es 0 por cualquier vector.

 

Propiedad 2:

La imagen del vector -v es igual al opuesto de la imagen de v.

 T(-v)=-T(v)

 T(-v)=T(-1*v)=-1*T(v)=-T(v)

Propiedad 3:

Consideremos r vectores del espacio vectorial V:

v1,v2,v3,..,vr ∈V

Se toma una una combinación lineal del dominio:

∝ 1v1+ ∝2v2+∝3v3+...+∝rvr

Donde αi ∈ R

Si aplicamos la transformación lineal FF de VV a WW, teniendo en cuenta las propiedades enunciadas en la definición, resulta:

 

F(α1v1+α2v2+α3v3+...+αrvr)=α1F(v1)+α2F(v2)+…+αrF(vr)F(α1v1+α2v2+α3v3+...+αrvr)=α1F(v1)+α2F(v2)+…+αrF(vr)

 

Es decir que una transformación lineal «transporta» combinaciones lineales de VV a WW, conservando los escalares de la combinación lineal.

 

Ejemplo y comprobación de la transformación lineal.

Ejemplo:

¿Qué pasa si u ₁ es 2 y u ₂ es 3? Usando y = x:

u1=2       T(2)=2      v1=2

u2=         T(3)=3      v2=3

 

Transformar 2 usando y = x produce un valor de rango v ₁ igual a 2. La misma idea para un valor de dominio de 3: el resultado v ₂ es 3. Ahora, si sumamos los dos valores de dominio, 2 + 3, obtenemos 5. Transformando esta suma de 5 produce un valor de rango de 5. Este valor es igual que la suma de v ₁ y v ₂ .

T(u1)+T(u2)=v1+v2=2+3=5

T(u1+u2)=T(2+3)=T(5)=5

En base a lo anterior se puede comprobar los siguiente, nos preguntamos si podemos transformar la suma de dos valores de dominio y obtener la misma suma cuando estos valores se transforman por separado?, si no fijamos, para y=x y esta es una transformación lineal.